代数_1

整理一下听课资料。。。

求取值范围


$已知实数a,b满足a^2+ab+b^2=1 ,$

$求a^2-ab+b^2的取值范围.$

$设a^2-ab+b^2=t$

$有题设与上式得到ab=\frac{1-t}2 ,a^2+b^2=\frac{1+t}2$

则$a^2+2ab+b^2=\frac{3-t}s$

当$\frac{3-t}{2}≥0即t≤3时$

$ a+b=\pm\sqrt{\frac{3-t}2}$

把a,b看做$x^2\pm\sqrt{\frac{3-t}2}x+\frac{1+t}2=0$的两根

由于a,b为实数,$\Delta≥0得到t≥\frac{1}3$

$∴\frac{1}3≤t≤3$ 即$∴\frac{1}3≤a^2-ab+b^2≤3$

求整数根


$求所有有理数r,使得方程rx^2+(r-1)x+(r-1)=0的所有根是实数.$

由于$r$是有理数,所以无法用求$\Delta$解。

用韦达定理:

$x_1+x_2=-\frac{r+1}r是整数;x_1x_2=\frac{r-1}r是整数$

整理消元,$-x_1-x_2+x_1x_2=2$

分解因式$(x_1-1)(x_2-1)=3$

解出$x_1,x_2$后检验$\Delta$,再求出$r$.
我打字打不下去了

以后再整理吧

不没有以后了